고윳값과 고유벡터: 정사각행렬 $A$$A$$\lambda$$A$$\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$$A$$A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$를 만족시키는 $\mathbf{x}$를 고유벡터(eigenvector), 여기에 대응하는 $\lambda$의 값을 고윳값(eigenvalue)이라 합니다.
위 식을 조작하면 아래와 같이 됩니다.
$$ A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}, \\ A \mathbf{x} - \lambda \mathbf{x} = \mathbf{0}, \\ A \mathbf{x} - \lambda I \mathbf{x} = \mathbf{0}, \\ (A - \lambda I) \mathbf{x} = \mathbf{0} $$
위 방정식은 영공간에 포함될 $\mathbf{x}$를 찾는 식입니다. 이때 선형변환 $B=A-\lambda I$가 가역행렬이라면 아래와 같이 계산할 수 있습니다.
$$ B^{-1}B \mathbf{x} = b^{-1} \mathbf{0}, \\ \mathbf{x}=\mathbf{0} $$
하지만 $\mathbf{x} \ne 0$이라 전제했기 때문에, 위 식은 모순이고 $B$는 가역행렬일 수가 없습니다. 따라서 위 식이 성립할 기본적인 조건은 $\det\left( A - \lambda I \right)=0$입니다. 이때 $p(\lambda) = \det\left( A - \lambda I \right)$를 고유 다항식, 특성다항식이라 합니다.
고윳값 $\lambda$에 대한 고유공간 $V_\lambda$는 $\lambda$에 대한 고유벡터의 집합입니다.
예시로 한 행렬을 가져와보겠습니다.
$$ A=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \\ \end{pmatrix} $$
여기서 $B=A-\lambda I$의 값은 아래와 같습니다.
$$ B=\begin{pmatrix} 3-\lambda & 2 \\ 1 & 4-\lambda \\ \end{pmatrix} $$
이제 $\lambda$의 값을 구해보겠습니다.
$$ \det{B}=0, \lambda^2 - 7 \lambda + 10 = 0 \\ \therefore \lambda = 2 \lor \lambda = 5 $$
이제 고윳값에 대응되는 고유벡터를 구해보겠습니다.
$$ \begin{aligned} &i)\; \lambda = 2, B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix} = \mathbf{0} \quad \therefore \mathbf{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ \end{pmatrix} \\ &ii)\; \lambda = 5, B=\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix} = \mathbf{0} \quad \therefore \mathbf{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \\\end{aligned} $$
A = matrix([[3, 2], [1, 4]])
l = A.eigenvalues()
for l1 in l:
B = A - l1 * matrix.identity(2)
print(f"lambda={l1} space={B.right_kernel().basis()}")
lambda=5 space=[(1, 1)]
lambda=2 space=[(1, -1/2)]
코드로 검산해보아도 맞는 결과가 나옵니다.
여기서 중요한 것은, 이 $\mathbf{x}$의 값이 하나만 존재하는 것이 아니라, 가능한 $\mathbf{x}$의 값 중 하나만 꼽은 것이란 것입니다. 따라서 $V_2 = \left\{ t\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\}, V_5 = \left\{ t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\}$인 것입니다.