부분공간 테스트: $V$의 $\varnothing$이 아닌 부분집합 $W$에 대해 합과 스칼라배의 닫혀있음만 만족하면 부분공간이 맞다는 것.
벡터공간의 기저 $B$: 3차원 공간에서 x, y, z축과 같은 것이다. 서로 평행하지 않으며, 조합으로 벡터공간의 모든 원소를 만들 수 있는 값들의 집합. V.basis()
벡터공간의 차수: 기저의 크기. $\dim{V}=\left|B\right|$ → V.dimension()
일차결합(선형결합): 스칼라 $a_i$와 벡터의 모음 $U$의 조합으로 생기는 값. 여기선 일단 $a \cdot U$로 표시.
Span: 일차결합의 집합. $\left<U\right>$라 표시함. → span(U)
일차독립: $a \cdot U=\mathbf{0} \Rightarrow a_{\forall i}=0$, 즉 $U$의 원소들이 서로 평행하지 않음. $U$가 기저가 되기 위한 조건 중 하나. V.linear_dependence() == []. 참고로 linear_dependence 함수는 위 조건을 만족하지 않는 $a$의 배열을 반환한다.
일차종속: 일차독립의 반대. → V.linear_dependence() != []
행렬의 종류들: 영행렬, 단위행렬 $I$, 대각행렬, 정사각행렬(정방행렬), 대칭행렬, 반대칭행렬, 상/하삼각행렬, 가역행렬
- TFAE: 가역행렬, $\mathrm{rank}\,{A}=n$, $\det{A} \ne 0$, isomorphism
정사각행렬의 행렬식 $\det{A}, \left|A\right|$: 정사각행렬에서 스칼라값으로 대응하는 함수.
- $\left|I\right|=0$이다.
- $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix} =ad-bc$이다.
- $\det{kA}=k^n \det{A}$, $\det A^T = \det{A}$, $\det{AB} = \det{A} \cdot \det{B}$, $\det{A^{-1}}={\det{A}}^{-1}$이다.
역행렬: $AA^{-1}=I$를 만족하는 $A^{-1}$.
- 역행렬을 구하는 법: 정사각행렬 $A$에 대해, $[A:I]$의 RREF를 구한다. $[I:B]$의 형태로 만들어진다면 $B=A^{-1}$, 아니면 역행렬이 존재하지 않는다.
REF: Row Echelon Form, 행 사다리꼴. 가우스 소거법을 통해 원래 행렬에 기본행 연산을 실행한 결과이다. → Aa.ref()
RREF: Reduced ~, 기약 행 사다리꼴. 가우스-조단 방식으로 REF를 소거한 경우. 선형연립방정식의 첨가행렬에 대해 RREF를 했을 때 해가 유일하게 정해지면 보통 $[I:\mathbf{b}]$의 형태를 띈다. → Aa.rref()
- REF, RREF를 한 결과는 원래 행렬과 행-동치(row equivalent, 행상등)이다.
- 첨가행렬이 행동치인 두 선형연립방정식은 동치이다. 즉, 해가 같다.
- 행동치이면 행공간, 영공간(null space)이 동일하다.
- REF, RREF는 모든 행렬에 대해 존재한다.
행공간, 열공간: 행/열백터의 일차결합 전체의 집합. → V.row_space(), V.column_space()
- 행렬의 상(image)은 열공간(range)과 같다. 즉, 선형변환의 결과의 공간은 열공간과 같다.
계수(rank): 행/열공간의 차원. → V.rank()
-
선형변환 후 값의 벡터공간의 차원이 계수와 같다는 것은 자명하다.
-
팁: 행공간, 열공간, 계수와 같은 개념을 다루기 위해서는 RREF의 형태가 좋다.
$$ A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} $$
-
이 RREF에서 행공간과 열공간의 값은 같다. 특수한 경우에서 증명하자면,
- $A$가 $[I:\mathbf{b}]$ 형태일 때: 행벡터는 서로 일차독립이고, 열벡터의 경우 $I$의 열벡터는 서로 일차독립, $\mathbf{b}$는 $I$의 열벡터의 합으로 나타낼 수 있으므로 계수가 행벡터의 계수보다 1 작다.
-
결과적으로 행의 계수와 열의 계수는 같고, 이것을 계수로 정의한다.
-
사실 rank는 image(상 = range 치역)의 차원이다.
kernel(null space, 핵, 영공간): $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$의 해들의 집합. ($A\mathbf{x}=\mathbf{0}$는 수반동차연립방정식이라 한다.) $\ker{A}=\left[\mathbf{x}\right]$ → A.right_kernel()
-
항상 고려할 것은, 여기서 행렬이라 나오는 것들은 linear map으로 추상화가 가능하다. $A$가 그렇다.
-
유명한 사진을 참고하시라.
nullity: $\dim{\ker{f}}$
Rank-Nullity 정리: $A$의 rank와 nullity를 더하면 $A$의 열의 개수가 나온다. 또는 $\dim{\text{image}\,f}+\dim{\ker{f}}=\dim{\text{dom}\,{f}}$이다.
-
A를 RREF한 예시를 생각해보자.
$$ \mathrm{rref}\,A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} $$
-
rank는 A의 열/행공간의 차원, 즉 A의 해가 결정된 정도이다.
-
nullity는 $[A:\mathbf{0}] \sim A$의 해집합의 차원, 즉 자유도이다.
-
대략 이해하기에, rank는 A의 해가 얼마나 많이 제약을 받는지, nullity는 A의 해가 얼마나 자유로운지를 나타낸다. 따라서 둘의 합은 일정하게 A의 열의 개수와 같다.
초평면(hyperplane, orthogonal compliment 직교 여공간): $\mathbf{a}^{\perp} = \left\{\mathbf{x} \in V \mid \mathbf{a} \cdot \mathbf{x} = 0\right\}$
고유 다항식: $\det(A-\lambda I)$.